Der Begriff des Differentials soll hier nicht genau definiert werden, stattdessen appellieren wir an die Anschauung, indem wir Differentiale als infinitesimale (sehr kleine) Differenzen betrachten.

Als Beispiel betrachte man den euklidischen Abstand in der Ebene, er wird in der Differentialgeometrie folgendermaßen ausgedrückt: ds² = dx² + dy².

Ein wichtiger Begriff der Differentialgeometrie ist der Metrische Tensor. Im Abschnitt Metrischer Tensor der Ebene wird gezeigt, wie sich Abstände in der Ebene mit Hilfe des metrischen Tensors ausdrücken lassen.

Eine weitere Anwendung des Differentials ist die Darstellung von Ableitungen einer Funktion.

Im folgenden werden einige Beispiele angegeben, um die Bedeutung und Verwendung des Differentials in dem Zusammenhang mit Ableitungen zu verdeutlichen.

Man betrachte z.B. eine differenzierbare, reellwertige Funktion f einer reellen Variablen x.

Für diese Funktion ist die Ableitung

definiert. Die Gleichung

df = f'dx

drückt das Differential df der Funktion f mit Hilfe ihrer Ableitungsfunktion f' und des Differentials dx aus.

Häufig wird auch das Argument x der Funktion f mit angegeben:

df(x) = f'(x)dx

Man genannt das Symbol d auch als Differentialoperator.

Damit kann d in verschiedenen Kontexten unterschiedliche Bedeutung haben, d kann einen infinitesimalen Abstand beschreiben oder als Differentialoperator auf eine Funktion angewendet werden.

Für reellwertige Funktionen f(x₁,x₂,x₃), die von mehreren reellen Parametern x_i abhängen, wählt man häufig die Darstellung

wobei über den Index i summiert wird.

Die partielle Ableitung von f nach x_i wird beschrieben durch Dabei werden alle Variable mit Ausnahme von x_i als konstant betrachtet, nach x_i wird unter diesen Voraussetzungen differenziert.

In der mathematischen Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten werden Differentiale präzise definiert, allerdings ist der benutzte Formalismus sehr abstrakt.

Das Rechnen mit Differentialen wird in dem so genannten Differentialformenkalkül präzisiert.

Koordinatentransformationen sind ein wichtiges Werkzeug der Differentialgeometrie, um die Anpassung einer Problemstellung an geometrischen Objekte zu ermöglichen.

Will man Abstände auf einer Kugeloberfläche behandeln, so wird man Kugelkoordinaten benutzen, betrachtet man euklidische Abstände in dem Raum, so benutzt man kartesische Koordinaten.

Ein einfacheres Beispiel ist der Ãœbergang von kartesischen Koordinaten in der Ebene zu Polarkoordinaten, mit denen man eine Kreislinie einfacher beschreiben kann.

f(r,Φ) = (rcosΦ,rsinΦ) = (x,y)

Die Koordinaten (x,y) berechnen sich aus (r,Φ) folgendermaßen:

• x(r,Φ) = rcosΦ
• y(r,Φ) = rsinΦ

x und y werden auch als Komponentenfunktionen von f genannt. Hierfür lassen sich die (totalen) Differentiale angeben:

Man genannt dx,dy,dr, dφ als Koordinatendifferentiale. Bei diesem Beispiel fällt die Bedeutung von d als Differentialoperator mit der Bedeutung eines infinitesimalen Abstandes zusammen.

Kugelkoordinaten werden auch als krummlinige Koordinaten genannt, da sie die Abstandberechnung auf einer gekrümmten Fläche, der Kugeloberfläche, ermöglichen.

Ein wesentliches Hilfsmittel der klassische Differentialgeometrie sind Koordinatentransformationen zwischen beliebigen Koordinaten, um geometrische Strukturen beschreiben zu können. Häufig werden krummlinige Koordinaten benutzt.

Die aus der Analysis bekannten Differentialoperatoren werden auf krummlinige Differentialoperatoren erweitert.

Ein krummliniger Differentialoperator ist z.B. die kovariante Ableitung, die in dem Riemannschen Raum benutzt wird.

Krummlinige Differentialoperatoren ermöglichen die Definition von Verbindungslinien in gekrümmten Räumen, z.B. die Definition von Geodäten in dem Riemannschen Raum. Geodätische Linien sind die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten, auf der Kugeloberfläche sind die Längenkreise Beispiele für geodätische Liníen, nicht aber die Breitenkreise (Ausnahme: Äquator).

Mit Hilfe allgemeiner Koordinatentransformationen werden in dem Riemannschen Raum die Christoffelsymbole definiert.

Die Christoffelsymbole gehen in die Definition der kovarianten Ableitung eines Vektorfeldes ein.

Die kovariante Ableitung ist eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung des flachen (euklidischen ) Raumes für gekrümmte Räume. Sie reduziert sich in dem euklidischen Raum zur partiellen Ableitung. In dem gekrümmten Raum sind die kovarianten Ableitungen eines Vektorfeldes in dem Allgemeinen nicht miteinander vertauschbar, ihre Nichtvertauschbarkeit wird zur Definition des Riemannschen Krümmungstensors benutzt.

Ein weiterer wichtiger Begriff in dem Zusammenhang mit gekrümmten Räumen ist die Parallelverschiebung. Die Parallelverschiebung eines Vektors entlang einer geschlossenen Kurve führt in dem gekrümmten Raum dazu, dass sich der verschobene Vektor mit seinem Ausgangsvektor nicht deckt.

Anwendung findet die klassische Differentialgeometrie in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Sie ermöglicht die Voraussage von Phänomenen, die durch das Experiment bestätigt werden (Lichtablenkung, Periheldrehung des Merkur).Koordinatentransformationen entsprechen in der Relativitätstheorie Wechsel von Bezugssystemen, aus denen heraus ein Phänomen beobachtet wird. Dies entspricht unterschiedlichen Sichtweisen auf ein Ereignis.Die klassische Differentialgeometrie wurde auch schon früher in der Geodäsie und Kartographie angewendet. Beispiel ist hier unter anderem die Kartenprojektionslehre aus der die Begriffe geodätische Linie und Gauss'sche Krümmung stammen.